„Quod erat demonstrandum”, prescurtat q.e.d. vine din latină şi înseamnă „ceea ce trebuia demonstrat”. Este formula cu care se încheie rezolvarea unei probleme de geometrie în manuscrisele operei lui Euclid.
Societatea de Ştiinţe Matematice din România
Societatea de Ştiinţe Matematice din România
Cont nou | Ai uitat parola?

Ştiaţi că?

Ştiaţi că Pitagora considera cunoştinţele muzicale ca făcând parte din domeniul matematicii şi în mod special din teoria numerelor? „Sunetele armonioase, spunea Pitagora, sunt produse de rapoartele exprimate în numere întregi şi cu cât valoarea numerică a raportului este mai mică cu atât sunetul este mai frumos”.

Vezi toate

Anecdote matematice

Un ardelean şi un matematician în tren. După un timp trec pe lângă o stână.
Ardeleanul: "1,2,3,4,5... 425 de oi."
Se uită şi matematicianul, scoate un pix şi o foaie de hârtie, calculează... nimic.
Dupa o oră mai trec pe lângă o stână.
Ardeleanul: "1,2,3,4,5,6... 281 de oi."
Matematicianul scoate laptop-ul, calculează, utilizează toate programele complexe de calcule... nimic.
Dupa încă câteva ore trec pe lângă altă stână.
Ardeleanul: "1,2,3,4,5... 892 de oi."
Matematicianul scoate telefonul mobil, sună un prieten matematician, se conectează la internet, caută, trimite mai multe mail-uri, nimic.
- Domnule, nu vă supăraţi, dar eu sunt matematician, membru al Academiei, cu diplome multe, comunicări ştiinţifice internaţionale etc. şi nu am putut număra. Cum faceţi?
- No, d-apăi simplu, domnul meu... numeri picioarele şi împarţi la patru!

Vezi toate

citate matematice

"Ca şi în geometrie, înţeleg prin poezie o anumită simbolică pentru reprezentarea formelor posibile de existenţă… Pentru mine poezia este o prelungire a geometriei, aşa că, rămânând poet, n-am părăsit niciodată domeniul divin al geometriei."

Ion Barbu

Vezi toate

Poveşti despre matematică şi matematicieni

Nota 4.20 / 5 voturi
interes general Numere complexe, cuaternioni şi octonioni

Comenteaza Trimite unui prieten Imprima

Numerele complexe au apărut în Renaştere, sub numele de cantităţi imposibile, din necesitatea, la început formală, de a rezolva ecuaţia x pătrat egal minus unu. Să putem, deci, extrage rădăcina pătrată a oricărui număr, nu numai a celor pozitive. Rădăcina pătrată a lui minus unu a fost notată cu i şi numită unitate imaginară. Până la urmă, s-a dovedit că se pot face mult mai multe lucruri cu ele: se pot extrage orice fel de rădăcini, de ordinul al treilea, al zecelea, ba chiar rădăcina de ordinul pi sau chiar 1 plus i, după cum a arătat Euler. Mai mult, aceste numere imaginare s-au dovedit intim legate de geometria planului euclidian: un număr complex se poate reprezenta ca un punct în plan, înmulţirea numerelor complexe corespunde unei rotaţii în jurul originii planului, legile trigonometriei elementare se pot exprima şi ele cu ajutorul numerelor complexe. Ba chiar, azi orice inginer ştie că numerele acestea sunt foarte utile în studiul circuitelor electrice. Iar mai nou, faimoasele mulţimi fractale se definesc pornind de la nişte transformări cu numere complexe.

Dar, una peste alta, numerele complexe respectă cumva tiparul numerelor reale: formează un corp comutativ. Ce se pierde e ordinea: nu se mai poate defini coerent cu adunarea şi înmulţirea ce înseamnă ca un număr complex să fie mai mare decât altul.

Cel care a reprezentat pentru prima oară geometric numerele complexe, ca puncte în plan, a fost sir William Rowan Hamilton, inginer din Dublin. Ani de zile după aceea a încercat să construiască un sistem de numere asemănător, reprezentabil prin punctele spaţiului tridimensional. Până în ziua de 16 octombrie 1843 când, trecând podul Broome din Dublin, a înţeles într-o străfulgerare că nu în spaţiul tridimensional, ci în cel patru-dimensional trebuie să lucreze. Şi a inventat cuaternionii, numere în care intră patru unităţi imaginare, i, j, k, sau, dacă vreţi perechi de numere complexe, aşa cum şi acestea sunt perechi de numere reale. Atât de fericit a fost Hamilton când a făcut această descoperire, încât s-a întors şi a săpat cu cuţitul în piatră („oricât de nefilozofic a fost acest impuls”, cum i-a zis fiului său) legile de înmulţire ale unităţilor imaginare cuaternionice, inscripţie ce poate fi văzută şi azi. Algebra cuaternionilor e mai complicată decât cea a numerelor complexe. În primul rând, nu e comutativă. Şi a fost un mare curaj să inventeze nişte numere care nu se înmulţesc comutativ, a trebuit să treacă o barieră psihologică. Totuşi e şi ea foarte legată de geometrie: înmulţirea cuaternionilor corespunde produsului vectorial din spaţiul euclidian. Iar azi, ştim că noţiuni fizice ca spinul particulelor de exemplu, se pot modela cu ajutorul cuaternionilor şi chiar cu ajutorul unor numere şi mai complicate.

Pe acelaşi model al trecerii de la real la complex şi de la complex la cuaternionic, prin dublare, adică prin formarea de perechi, se poate trece de la cuaternioni la octonioni. Pas făcut de Cayley, tot în secolul al 19-lea. Octonionii au şapte unităţi imaginare, înmulţirea lor nu e nici comutativă, nici asociativă. Dar, ca şi cuaternionii, sânt numai buni pentru modelarea anumitor fenomene fizice, sunt folosiţi în teoriile de câmp şi în teoriile de string.

S-ar zice că putem continua la nesfârşit, tot împerechind noile numere obţinute. Ei bine, nu. O teoremă extrem de profundă a lui Hurwitz spune că, dacă vrem să păstrăm măcar câteva proprietăţi utile şi coerente matematic, singurele algebre bune sunt numerele reale, complexe, cuaternionii şi octonionii.

 

Liviu Ornea

Aurelian Grigoriu   09:29 am, 11 Mar 2010
Salut si consideratie pentru domnul Profesor Ornea ! Domnule Profesor va urmaresc in revista literara Observator Cultural precum si pe site-ul d-voastra ! Desi nu sunt matematician de profesie ci, inginer, sunt un pasionat de matematica si de fenomenul matematic ! ...chiar si cu un articol consistent postat pe acest portal, e greu sa cuprinzi si sa prezinti impactul urias al numerelor complexe asupra stiintelor ingineresti ! Toata mecanica fluidelor si hidraulica subterana inseamna Numere Complexe ! As dori sa amintesc numai, de existenta unei monumentale monografii pe aceasta tema si anume "Teoria Functiilor de Variabila Complexa" a regretatului profesor Octav Mayer; este meritul domnului Profesor Mocanu de a se fi ingrijit de reeditarea acestei "Biblii" a functiilor complexe.!...in alte vremuri autorul acestei splendide monografii ar fi primit o Medalie Fields...!...mare pacat ! Toate cele bune !
Pentru a comenta trebuie să te autentifici!