„Quod erat demonstrandum”, prescurtat q.e.d. vine din latină şi înseamnă „ceea ce trebuia demonstrat”. Este formula cu care se încheie rezolvarea unei probleme de geometrie în manuscrisele operei lui Euclid.
Societatea de Ştiinţe Matematice din România
Societatea de Ştiinţe Matematice din România
Cont nou | Ai uitat parola?

Ştiaţi că?

Ştiaţi că Pitagora considera cunoştinţele muzicale ca făcând parte din domeniul matematicii şi în mod special din teoria numerelor? „Sunetele armonioase, spunea Pitagora, sunt produse de rapoartele exprimate în numere întregi şi cu cât valoarea numerică a raportului este mai mică cu atât sunetul este mai frumos”.

Vezi toate

Anecdote matematice

Un ardelean şi un matematician în tren. După un timp trec pe lângă o stână.
Ardeleanul: "1,2,3,4,5... 425 de oi."
Se uită şi matematicianul, scoate un pix şi o foaie de hârtie, calculează... nimic.
Dupa o oră mai trec pe lângă o stână.
Ardeleanul: "1,2,3,4,5,6... 281 de oi."
Matematicianul scoate laptop-ul, calculează, utilizează toate programele complexe de calcule... nimic.
Dupa încă câteva ore trec pe lângă altă stână.
Ardeleanul: "1,2,3,4,5... 892 de oi."
Matematicianul scoate telefonul mobil, sună un prieten matematician, se conectează la internet, caută, trimite mai multe mail-uri, nimic.
- Domnule, nu vă supăraţi, dar eu sunt matematician, membru al Academiei, cu diplome multe, comunicări ştiinţifice internaţionale etc. şi nu am putut număra. Cum faceţi?
- No, d-apăi simplu, domnul meu... numeri picioarele şi împarţi la patru!

Vezi toate

citate matematice

"Ca şi în geometrie, înţeleg prin poezie o anumită simbolică pentru reprezentarea formelor posibile de existenţă… Pentru mine poezia este o prelungire a geometriei, aşa că, rămânând poet, n-am părăsit niciodată domeniul divin al geometriei."

Ion Barbu

Vezi toate

Pledoarie pentru matematică

Nota 3.33 / 3 voturi
interes general Lunecuşuri psihopedagogice

Comenteaza Trimite unui prieten Imprima

     Acţiunea 2010 – Anul matematicii în şcoală prevede anumite înnoiri pe care le apreciem predominant ca fiind teoretice. Vom continua pe această linie, deşi o considerăm insuficientă.
      Se pleacă de la premiza că elevul este o entitate strict raţională şi că este dornic să audieze discursuri matematice impecabile, schematizabile astfel: definiţie – enunţări + demonstrări de propoziţii – aplicaţii.
      Noi susţinem că această circumscriere a elevului, doleanţelor şi capacităţilor sale este utopică:aşa am dori noi să fie elevul. Dacă nu este aşa, psihopedagogii ne pun la îndemână paturi ale lui Procust adecvate diverselor nivele de maturizare. În cele ce urmează vom prescurta prin PP atât „ştiinţa psihopedagogie” cât şi mânuitorii ei. Gândim PP nu ca o intersecţie, ci ca o reuniune. Noi, independent de PP (ba chiar în contradicţie cu ei), trebuie întâi să asigurăm toleranţă faţă de un asemenea tip de discurs, apoi să convingem că este necesar. Aceste sarcini formative pot depăşi perioada gimnaziului.
      Ne precizăm o idee fixă şi veche. (Poate învechită?) Elevul are o componentă afectivă extrem de funcţionalăşi uneori îşi dezvoltă lent (şi cu ajutorul nostru) o completare raţională. Nu negămcă există copii care s-au născut matemati­cieni şi la care componenta raţională este (din start şi din hard) prioritară. Zicem însă că acestea sunt excepţii şi, în calitatea noastră de dascăli, primează îndatorirea de a nu-i înfrâna sau dezamăgi. Aproximăm o medie: până spre sfârşitul gimna­ziului, componenta afectivă este prioritară.
     Zicem că se impune să folosim în folosul dezvoltării armonioase a elevilor şi cât mai multe resurse care vin dinspre afectivitatea sa. Nu vom reuşi decât în procent mic, deoarece matematica are particularitatea de a fi raţională într-o proporţie covârşitor mai mare decât alte preocupări adiacente curriculum-ului şcolar. Dar asta nu înseamnă deloc că trebuie să renunţăm complet la stimulări afective.

      Intercalăm o paranteză (lungă). Se poate vorbi despre matematicieni – M şi despre profesori de matematică ­PM. Datoria unora este să lărgească domeniul matematicii şi să-l consolideze structural. Ceilalţi se referă la o parte stabilizată a acestei ştiinte (căreia i se recunosc şi atribute formative), pe care trebuie să o predea, astfel încât să fie înţeleasă şi să declanşeze evoluţii pozitive. Este posibil să existe unii care să se învrednicească de ambele sarcini, dar socotim că acestea sunt doar exceptii (lăudăbile). O mare majoritate sunt cei al căror rost (aproape exclusiv) este cel derivat din încadrarea în onoranta categorie PM. Aceştia trebuie să ştie câte ceva matematică, pentru ca nu cumva să predea greşit şi, mai ales, să ofereo bună imagine de ansamblu. Socotim însă mult mai importantă sarcina lor de a face din matematică un domeniu atractiv. Vor avea de folosit în acest scop resurse raţionale ale elevilor, dar şi resurse afective. Folosirea acestui (ultim evidenţiat) tip de resurse este mai dificilă decât pentru profesorii de la alte materii, să spunem mai puţin abstracte. Greu, dar necesar!

     Venim acum pe un amănunt pe care nu îl vom putea dezvolta suficient în această intervenţie. Psihologii ne îndeamnă ca, în balanţa recompense – pedepse să ne bazăm cât mai mult pe primele. În stimulările afective trebuie să ne bazăm în primul rând pe simpatii şi doar în plan secund pe antipatii. Balanţa este similară, dar nu identică deoarece atitudinile de simpatie – antipatie se completează organic: iubirea faţă de X atrage automat dorinţa de luptă contra duşmanilor lui X şi invers.Tot respectul faţă de dorinţa PP de a conferi un aspect ştiinţific strădaniilor lor; trebuie să o facăşi apreciem că încă sunt extrem de departe de astfel de doleanţe (compararea cu matematica o pune în situaţii de inferioritate). Chiar dacă ar fi atins deja un astfel de deziderat, în proiectarea lecţiilor de matematică noi nu prea suntem interesaţi de aceastăştiinţă, ci de posibilele ei aplicaţii.

     Prezentăm deci situaţia actuală. PP a construit un sistem de noţiuni teoretice pe care le conexează într-un discurs pe care îl doresc de maximă generalitate. Este vorba despre un demers spre abstractizare, obiectiv incomparabil cu similarul din matematică. Nu doresc şi nici nu îi încurajămsă creadă că ar putea concepe şi preda nici-o lecţie matematică, oricât de plată ar fi aceasta. Vor ei în schimb, ca toţi profesorii de matematică să se recicleze teoretic pe tărâmul lor. La o astfel de reciclare este major riscul ca un profesor de matematică extrem de performant (la clasă)să nu cadă peste modul în care construiesc ei (sau îşi înţeleg) abstracţiunile. Nu ne deranjează prioritar faptul că îşi taie pentru tagma lor o parte necuvenit de mare de onoruri şi parale; ne temem că răpesc inutil timpul unor profesori şi apoi încearcă ierarhizări care nu pot fi decât aleatoare. Ei doresc plată nu pentru serviciile aduse, ci pentru un lanţ îmbârligat de deservicii.
Cârdăşia PP – contra matematicii, îngăduităşi chiar stimulată prin ordine ale ocârmuitorilor, a generat un comandament pe care îl vom prescurta PPEEFF de examinatori, evaluatori, formatori şi formatori de formatori. (Limba română nu prea tolerează un rezumat al intenţiilor lor: formatori de formatori de formatori). Socotim că ar fi drept ca aceşti PPEEFF să probeze în prealabil că posedă acum cunoştinţele matematice ale unui elev de gimnaziu. (Am subliniat un „acum”, deoarece se poate presupune că au căpătat cândva note de trecere în gimnaziu la matematică. Dacă PP-ul a impus „teze unice”, poate ar dovedi eficienţa lor supunând examinatorii PP la astfel de teste). Până la împlinirea acestui semn de echitate, socotim că psihopedagogii trebuie ţinuţi departe de predarea matematicii; avem destule retuşuri de făcut şifără ei. Matematica, MA, şi-a edificat cel puţin de secole un sistem teoretic închegat, stabil; a dovedit că poate fi aplicată cu succes cam în toate ştiinţele şi disciplinele; PP încă nu s-a aşezat teoretic şi prezintă această semi-aşezare drept aplicaţie. Pe aceste date, ni se pare scandalos de incorect ca „banii” să circule de la MA spre PP şi nu invers.
      Vorbeam despre o însuşire a matematicii gimnaziale, pe care o considerăm realizabilă, deşi nu foarte lesnicioasă. Este pidosnică intenţia unui anume Pappy, care a gândit o mânuire a matematicii dinspre o anume parte a fundamentelor ei, să-i spunem teoria mulţimilor. Este vorba despre un cărţoi care ar prilejui neajunsuri şi dacă ar cădea peste picioare. A fost însă mai dramatic, deoarece s-a marşat (nu numai în ţara noastră) spre o introducere a mulţimilor la grădiniţe. Să ne amintim: copilandrii trebuiau să folosească anume culori pentru a desena mulţimi şi apoi să accepte numerele drept clase de echivalenţă a acestor picturi. (Să trecem repede peste faptul că regulile Pappy de colorare a mulţimilor se regăsesc nealterate şi în abecedare).
      Să evidenţiem sechele actuale a „revoluţiei Pappy în predarea matematicii”. Vorbim despre fracţii; declarat sau nu, acestea sunt clase de echivalenţă în mulţimea perechilor de  numere naturale nenule este o fracţie şi nu o pereche de numere naturale; este egală cu şi nu doar echivalentă! PP ne interzice să spunem că fracţiile sunt egale şi ne obligă să le spunem echivalente.
Dar să nu ţintim greşit! Pentru o astfel de prostie sunt responsabili matematicienii, nu psihologii. Admitem că au făcut-o din ordin, în calitatea lor de formatori, dar asta nu îi absolvă! Îi iertăm, deoarece nu este civilizat să tai capul unui om doar pentru banalul motiv că este prost. Cred căşi parlamentarii noştri ar avea temeiuri să interzică astfel de tratamente! Întrebarea dură urmează: voi cum predaţi la clasă? O ierarhie proverbială spune că este mai prost cel care se ia după un prost!

     Goana după rigoare (pedagogică, nu matematică) continuă: nu mai există segmente, unghiuri, cercuri, arce sau triunghiuri egale, ele trebuind numite congruente. Este un „serviciu” pe care ni l-a oferit PP în predarea unei matematici în răspărul beneficiarilor. Zicem bogdaproste că exigenţa nu a a apărut înaintea revoluţiei franceze: nu am mai vorbi despre egalitate între oameni, ci despre echivalenţa lor legală. Am fi avut de făcut gimnastică a aparatului vocal pentru a prezenta fraternitatea ca o relaţie între clase de echivalenţă.
      Am fi putut desigur să fim mai îngăduitori: trecerea de la elemente la clase este o abstractizare; PP are circumstanţe obiective de a trece mai anevoie decât matematicienii peste astfel de exerciţii. Dar ei nu vor să înveţe de la noi, ci să ne impună reguli false de conduită. Din nou, declarat sau nu, fapt de prim ordin în învăţarea şcolară a matematicii în şcoală este tolerarea unor mecanisme de abstractizare. Dacă, în aceşti primi paşi, suprapunem dificultăţilor individuale şi incompetenţe venite imperativ dinspre PP, efortul nostru poate fi anulat. Episodul cu „fracţiile echivalente” este unul dintre paşii cei mai concludenţi spre abstractizare şi este păcat să-l irosim pe motivul că PP nu este capabil să-l facă!
      În rândurile care urmează propunem un armistiţiu temporar cu PP. Suntem împreună de acord că trebuie să înteţim eforturile de a lega matematica de practică. Zicem (din nou) că geometria gimnazială trebuie să aibă o componentă experimentală majoră. Aceasta înseamnăşi desen geometric!
Relatăm episoade relativ recente.
O problemă de clasa a VII-a la concursul FTC. Propunătorul iniţial, Gabi Mârşanu, a plecat de la configuraţia cu un triunghi cu un unghi de 120 °, în care intervin şi picioarele bisectoarelor interioare, cerând să se arate că un anume unghi este drept. Am căzut de acord să însoţim enunţul de o figură mare impecabilă pe care concurentul să identifice acel unghi drept. Gândeam că sunt necesare câteva secunde pentru a găsi experimental (cu echerul personal) acel unghi. Nici un concurent nu a făcut acest pas!
      Pregătind concursul RecMat 2010, subsemnatul a direcţionat o lecţie la clasele 5 – 6: îndoiri de hârtii care să conducă la cutii, eventual cubice. Elevi buni care trecuseră într-a şasea au întâmpinat dificultăţi majore spre a îndoi o foaie dreptunghiulară de hârtie întâi pe o mediatoare, apoi pe un colţ spre a ajunge la un pătrat. (Unii au stricat câteva foi de caiet până au produs obiectul solicitat). Deoarece ceream îndoiri în timpul unui dialog geometric, a devenit evident că elevii îşi rup atenţia în reprize disjuncte: când judecă abstract îndoaie greşit, când îndoaie bine refuză abstractizări. Încă păstrez un ghimpe în inimă: oare dedublarea de persoană nu este simptomatică? Psihologii ne-ar putea fi de folos!
Cam tot atunci, la o grupă de elevi care trecuseră de a noua (unii şi de a zecea) şi între care erau şi valoroşi componenţi sau pretendenţi ai lotului naţional, nu auzise nimeni de arc capabil de unghi dat (nici măcar ca denumire). Uimit, am fost ulterior lămurit: o astfel de chestiune cade în contratimp cu teza unică! Deşi suntem în armistiţiu, vă invit să nu uităm contribuţia majoră adusă de PP la funcţionarea acestor teze unice. Am comandat experimentul plimbării a două muchii a unui echer prin puncte fixate; am renunţat înainte ca vreunul dintre ei să-şi strivească vreun deget.
      Relatez detaliat despre doleanţa de a-i conferi geome­triei gimnaziale o componentă experimentală semnificativă. Cu absolvenţi ai clasei a 6-a, am desenat la tablă un cerc O şi un punct exterior A. Am dus prin A şi o secantă arbitrară,tăind O în M, N. Am spus că este posibil ca produsul AM AN să nu depindă de secanta aleasă. Elevii au evidenţiat uşor situaţiile speciale: prin centru, tăind O în B, C şi tangentă (în T). Am cerut măsurări cu rigla şi calcule pentru AM AN , AB AC şi
AT 2. Nu s-au grăbit! Un elev a îndrăznit: chiar dacă obţinem aceleaşi valori, nu putem decide nimic! L-am lăudat, dar încă mă gândesc că fusese învăţat să sară dincolo de cal. Verificând calculele lor individuale, am afirmat că este plauzibil ca afirmaţia să fie adevărată. Am fost obligat să „traduc” cuvântul plauzibil!

     Dorim acum să nuanţăm (în bună colaborare cu PP), realitatea spre care putem marşa în predarea matematicii (la gimnaziu). Spun ei că adolescenţii constituie centre ale unui univers pe care şi-l edifică singuri, treptat. Edificarea nu este un act raţional, ci unul afectiv. Raţiunea intervine doar pentru a înfrâna incoerenţe majore cu realitatea exterioară.
Ideea de a decide la matematică în ce mod se poate confecţiona din puţină tablă un făraş în care să încapă mult gunoi nu pare a fi mobilizatoare de energii adolescentine. Vrem astfel a spune că în orele de matematică nu are sens să marşăm spre o realitate obiectivăşi raţională. Este imperios necesară crearea unei situaţii afective propice.
      Cer îngăduinţă să povestesc ce m-a mobilizat când eram elev printr-a patra. Din ordin prealabil aveam toţi truse geometrice „şcolare” şi ştiam rostul riglei şi al compasului. Învăţătorul ne-a povestit despre o întrecere între doi desenatori: V cu vechime profesională (plus atestări de cel mai înalt nivel) şi T un tinerel necopt. În timp anunţat, trebuiau să deseneze cât mai multe triunghiuri ABC, dreptunghice în C, vârfurile A şi B fiind marcate pe foile lor. După circa un sfert din timp, profesionistul V trăsese deja vreo 10 triunghiuri, iar T nici unul. La expirarea timpului, V avea trasate vreo 50, iar T mai mult de 100! Ştiţi voi oare cum a procedat tinerelul? Nu pot declara că noi elevii am găsit răspunsul, dar învăţătorul ne-a deconspirat secretul: T a desenat întâi cercul de diametru AB.
      Apoi, învăţătorul a împărţit tuturor foi de hârtie cu foi cu puncte A, B marcate, ne-a împărţit în tabere V şi T, şi-a aranjat ceasul de buzunar să sune şi a declanşat întrecere. Parcă ne-a spus la sfârşit că T a desenat întâi locul geometric al punctului C. (Eram într-a patra. O tempora!) Pentru că aţi fost cuminţi şi m-aţi ascultat, vă mai fac o mărturisire! Contrar preferinţelor mele, căzusem în echipa V. Cum nu prea eram chiar un elev ascultător, m-am făcut a nu pricepe rostul desfacerii pe echipe şi am apelat la strategia T, aproape stricându-i învăţătorului Pamfil experimentul. M-am alescu ovărguţă la palmă!
      Mă gândesc că PP nu ar prea aproba strategiile didactice ale învăţătorului. Sunt însă rău şivă întreb în faţă: voi aţi reţinut ceva din aceste strategii? Acuşidăm extemporal!
De la acea lecţie au trecut aproape 60 de ani. Vremea a adăugat şi un strop de experienţă pedagogică vizavi de matematici de gimnaziu. Îndrăznesc acum să demontez strategia Pamfil. Dacă mă simţiţi lunecând, vă rog să mă corectaţi în baza experienţei didactice personale, sigur mai amplăşi mai adecvată decât a mea.
Învăţătorul a creat o situaţie afectivă. Nu pasă nimănui dacă V şi T sunt sau nu abstraşi din realitate. Fapt relevant este că noi, copiii, ţineam din start cu T; dacă ar fi pierdut întrecerea poate am fi lăcrimat. Conştient că ne-a atras interesul, ar fi fost păcat să nu însămânţeze şi vorba loc geometric. Poate, pentru a crea tensiunea afectivă necesară a folosit şi trucuri didactice care s-or fi şters din amintire. Dacă ar fi predat la un liceu de artă, la clasa vestimentaţie, ne-ar fi spus şi cât de sobru era îmbrăcat V şi cât de zburlit era T. La timpul potrivit veţi şti să adaptaţi astfel de povestioare unei anume clase.
     Învăţătorul nu a lăsat situaţia nefructificată didactic şi a îndrăznit un experiment colectiv. Sesizaţi desigur că experimentul avea riscurile lui, provenind din corecta estimare a timpului necesar ca echipa T să o ajungă din urmă şi să o întreacă pe V. Aţi aflat şi despre un elev incomod acestui aranjament. Poate veţi ajusta cândva situaţia; este bine să gândiţi din timp la fleacuri care ar putea răsturna doleanţe.
     Prelungesc armistiţiul cu PPEEFF. Sper să nu fi înţeles cineva că noi dorim o predare a matematicii ignorând principiile pedagogice. Vine acum mai în faţă principiul caracterului intuitiv al învăţământului. Citez dintr-o carte scrisă mai de mult împreună cu o psiholoagă prin vocaţie şi profesie; la moment potrivit voi insera adăugiri.

     Încep prin tălmăcirea cuvântului intuitiv, strivit în limbajul zilnic de o mulţime de înţelesuri divergente. Cuvântul vine de la in – înăuntru şi tuere – a vedea. Deci intuire înseamnă a vedea înăuntru, fără a fi perturbaţi de detalii nesemnificative. Mai puţin întinat de alte înţelesuri ar fi termenul integrativ. Aceasta înseamnă coerenţă cu bagajul de cunoştinţe şi doleanţe anterior însuşit. Acest principiu este complet justificat de câteva argumente:

  • caracterul concret şi contextual al gândirii elevului;
  • plusul de relevanţă care apare într-un model sensibil;
  • cunoaşterea temeinică nu se realizează la nivelul abstracţiei maxime, ci la un nivel convenabil de accesibilitate, comprehensibilitate, motivare afectivă;
  • nevoia de surprindere a esenţelor ascunse de multivalenţa abstractă.


      Buna intuire (sau integrare) nu este doar un moment iniţial al predării, ci un însoţitor permanent, solicitând balansuri repetate între modele mai concrete şi situaţii atractive. Nu ni se pare relevant că un anume model „concret” este real; important este ca acesta să fie credibil şi atractiv.
      Citam un profesor care, pregătind lecţia cilindru, a arătat de la catedrăşi a plimbat prin clasă o bucată ajustată de lemn şio ţeavă de plastic. Întrebând, a aflat că elevii văzuseră burlane, au umblat cu macaroane şi spaghete nefierte, ştiau că apa circulă prin ţevi. Scăpat de această datorie, a continuat: Ei bine, în baza acestora, numim cilindru ... diferenţiem baze, generatoare etc. Apreciem drept falsă impresia sa că a respectat principiul caracterului intuitiv.
      Între colegi profesori, mărturisesc că am furat un pic pentru a vă capta atenţia. Trucul a constat în anunţarea unei situaţii conflictuale între noi şi PP. Nu mi se pare relevant dacă acest conflict este sau nu real! Acum sunteţi slobozi să vă retrageţi atenţia pecareaţi binevoit să mi-o acordaţi.
      Vă sfătuiesc însă: nu vă grăbiţisă răsuflaţiuşuraţi, deoarece voi supune atenţiei dumneavoastră unele încercări personale. Convins că experienţa dumneavoastră didactică o întrece mult pe a mea, aştept de la dumneavoastră observaţii, nu neapărat laudative.

Octombrie 2010, Poiana Negrii Dan Brânzei

Nu există comentarii!

Pentru a comenta trebuie să te autentifici!